从式6我们已经知道，频谱的幅度是关于X(N / 2)对称的，因此我们只需将前(N / 2) + 1个频谱数据转换为极坐标形式。还有，我们可以看到，对于实数输入采样，X(0)和X(N / 2)的虚部总为零。因此这两条谱线的幅度被单独计算。本项目实际固件的注释中包含了用于自动生成该LUT的源代码，可由程序调用来计算X(k)的幅度。
Hamming或Hann窗
此项目固件还包括了对输入采样加Hamming或Hann窗的LUT (Q8.7格式)。加窗函数可有效降低对时域采样x(n)的舍入操作所引起的频谱泄漏。Hamming和Hann窗函数分别如式7和8所示。
程序清单6给出了实现这些函数的代码。同样，本项目实际固件的注释中包含了用于自动生成这些LUT的源代码，可由程序调用来实现这些窗函数。
清单6. 用来实现Hamming和Hann窗函数的LUT。
const char hammingLUT[N] = {+10, +10, +10, ... ,+10, +10, +10};
const char hannLUT[N] = { +0, +0, +0, ... , +0, +0, +0};
...
...
for(i=0; i<256; i++)
{
#ifdef WINDOWING_HAMMING
MUL_1(x_n_re[i],hammingLUT[i],x_n_re[i]); // x(n)*=hamming(n);
#endif
#ifdef WINDOWING_HANN
MUL_1(x_n_re[i],hannLUT[i]),x_n_re[i]); // x(n)*=hann(n);
#endif
}
测试结果
为了测试该FFT应用的性能，固件将X(k)幅度通过μC的UART端口上传给PC。专门编写的FFT Graph软件(随该项目固件一起提供)用于从PC串口读取这些幅值，并以图形方式实时显示频谱。图3显示了μC以200ksps采样四种不同输入信号并处理后，由FFT Graph所显示出来的结果：
4.3V直流信号
50kHz正弦信号
70kHz正弦信号
6.25kHz方波
图3. FFT Graph软件显示的由低功耗μC计算出的频谱。
接下来干什么？
有兴趣的读者还可以花费大量的时间来继续优化和重新配置该FFT应用。尽管在本文中我们选择了radix-2算法，还有很多其他算法可以显著降低加法和乘法运算量。很多本文所未提及的优化可以提升FFT的速度。例如，作为纯实数的输入采样，其虚部总为零，频谱中只有前半部分有实际意义。利用这一点，第一级和最后一级FFT的执行速度可进一步优化，但需要付出更多的程序空间。
总之，本文所讨论的算法对于低功耗μC上的FFT应用而言，提供了一个很好的出发点。如果想了解更多信息和具体实现的细节，请查阅我们为本应用所提供的、带有详细注释的固件信息。